Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.
⑴ 求證：△AMB≌△ENB；
⑵ ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最��；
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；
⑶ 當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等邊三角形 ∴BA=BE，∠ABE=60° ∵∠MBN=60° ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN 即∠BMA=∠NBE 又∵M(jìn)B=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）  ⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小.  ②如圖，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小 理由如下： 連接CE交BD于點(diǎn)M 由⑴知，△AMB≌△ENB ∴AM=EN ∵∠MBN=60°，MB=NB ∴△BMN是等邊三角形 ∴BM=MN，∠BMN=∠BNM=60°  ∴∠ENB=∠CMB=120° ∴∠ENB+∠BNM=180° ∴點(diǎn)N在EC上 ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，得EN+MN+CM=EC最短  ∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).  ⑶