Question

12．合作學(xué)習(xí)：如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標(biāo)軸的正半軸上，OD=2，另兩邊與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=1，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G．回答下列問題：
①該反比例函數(shù)的解析式是什么？
②當(dāng)四邊形AEGF為正方形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少？
③閱讀合作學(xué)習(xí)內(nèi)容，請(qǐng)解答其中的問題；
小亮進(jìn)一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”請(qǐng)回答小亮的問題，并說明理由．

Answer 1

分析 ①先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②設(shè)出正方形的邊長，由正方形的性質(zhì)，表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用點(diǎn)F在反比例函數(shù)圖象上，即可；
③Ⅰ、假設(shè)兩矩形全等，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，判定點(diǎn)F是否在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)F在反比例函數(shù)圖象上，能全等，不在反比例函數(shù)圖象上，不能全等，即可；
Ⅱ、假設(shè)兩矩形相似，利用相似得到的比例式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

解答 解：①由題意得E（1，2），
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)的解析式$y=\frac{2}{x}$，
②設(shè)正方形AEGF的邊長為a，
∴AE=AF=a，B（1+a，0），F(xiàn)（1+a，2-a），
∴F點(diǎn)代入反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$得，（1+a）（2-a）=2，a=1或a=0（舍），
∴F（2，1）；
③Ⅰ、當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．
假設(shè)矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=2，AF=DE=1，
則F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
∴3×1≠2，
∴F點(diǎn)不在反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象上，
Ⅱ、當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．
假設(shè)矩形AEGF與矩形DOHE相似，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{OD}{DE}=2$，
設(shè)AF=t，則AE=2t
∴OB=1+2t，BF=2-t
∴F（1+2t，2-t），
將F點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$中，得（1+2t）（2-t）=2，
∴t=$\frac{3}{2}$，或t=0（舍），
∴F（4，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．