Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂都過點(diǎn)A，AO₁是⊙O₂的切線，⊙O₁交O₁O₂于點(diǎn)B，連結(jié)AB并延長交⊙O₂于點(diǎn)C，連結(jié)O₂C。
（1）求證：O₂C⊥O₁O₂；
（2）證明：AB·BC=2O₂B·BO₁；
（3）如果AB·BC=12，O₂C=4，求AO₁的長。

Answer 1

解：（1）∵AO1是⊙O2的切線， ∴O1A⊥AO2， ∴∠O2AB+∠BAO1=90°， 又O2A=O2C，O1A=O1B， ∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1， ∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°， ∴O2C⊥O2B， 即O2C⊥O1O2；
（2）延長O2O1交⊙O1于點(diǎn)D，連結(jié)AD， ∵BD是⊙O1直徑， ∴∠BAD=90°， 又由（1）可知∠BO2C=90°， ∴∠BAD=∠BO2C， 又∠ABD=∠O2BC， ∴△O2BC∽△ABD， ∴， ∴AB·BC=O2B·BD， 又BD=2BO1， ∴AB·BC=2O2B·BO1。
（3）由（2）證可知∠D=∠C=∠O2AB， 即∠D=∠O2AB， 又∠AO2B=∠DO2A， ∴△AO2B∽△DO2A， ∴， ∴AO22=O2B·O2D， ∵O2C=O2A， ∴O2C2=O2B·O2D， ①又由（2）AB·BC=O2B·BD ②由①-②得，O2C2-AB·BC= O2B2，即 42-12=O2B2， ∴O2B=2， 又O2B·BD=AB·BC=12， ∴BD=6， ∴2AO1=BD=6， ∴AO1=3。