Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在第一象限．直線y=$\frac{1}{2}$x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）也經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）填空：OB長(zhǎng)為3，OC長(zhǎng)為4；
（2）若點(diǎn)E是雙曲線第一象限上的點(diǎn)，當(dāng)△ECD的面積等于菱形ABCD面積的$\frac{1}{4}$時(shí)．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是雙曲線上的點(diǎn)，點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)．當(dāng)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出直線OQ的解析式．

Answer 1

分析 （1）令直線BD的解析式中x=0求出y值，即可得出OB的長(zhǎng)，設(shè)OC=x，則D（x，$\frac{1}{2}$x+3），C（x，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出OC的長(zhǎng)度；
（2）由勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，結(jié)合OB、OC即可得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，$\frac{20}{n}$）（n＞0），根據(jù)菱形的面積公式、三角形的面積公式以及△ECD的面積等于菱形ABCD面積的$\frac{1}{4}$，即可得出關(guān)于n的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程求出n值，將其代入點(diǎn)E坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；
（3）分以線段BC為邊和以線段BC為對(duì)角線兩大塊考慮，在每種情況下再分點(diǎn)P在x軸上和在y軸上考慮，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B、C、P的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)Q在反比例函數(shù)上即可求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)Q的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線OQ的解析式．

解答 解：（1）令y=$\frac{1}{2}$x+3中x=0，則y=3，
∴OB=3．
設(shè)OC=x，則D（x，$\frac{1}{2}$x+3），C（x，0），
∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD=$\frac{1}{2}$x+3=BC=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
解得：x=4或x=0（舍去），
故答案為：3；4．
（2）∵BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴A（0，8），
又∵C（4，0），B（0，3），
∴D（4，5），
∴5=$\frac{k}{4}$，k=20，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{20}{x}$．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，$\frac{20}{n}$）（n＞0），
S_△ECD=$\frac{1}{2}$CD•|x_E-x_C|=$\frac{5}{2}$|n-4|，S_菱形ABCD=AB•OC=20，
∵S_△ECD=$\frac{1}{4}$S_菱形ABCD=5，即|n-4|=2，
解得：n=2或n=6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，10）或（6，$\frac{10}{3}$）．
（3）以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①以線段BC為邊，如圖1所示．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
∵B（0，3），C（4，0），
∴Q（m-4，3）或（m+4，-3），
∴3=$\frac{20}{m-4}$或-3=$\frac{20}{m+4}$，
解得：m=$\frac{32}{3}$或m=-$\frac{32}{3}$，
此時(shí)，Q（$\frac{20}{3}$，3）或（-$\frac{20}{3}$，-3）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上，此時(shí)P、A重合，D、Q重合，
由對(duì)稱性可得出，Q（4，5）或（-4，-5）；
②以線段BC為對(duì)角線，如圖2所示．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)P（m，0），
∵B（0，3），C（4，0），
∴Q（2-m，3），
∴3=$\frac{20}{2-m}$，解得：m=-$\frac{14}{3}$，
此時(shí)，Q（$\frac{20}{3}$，3）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q、D重合，
∴Q（4，5）．
綜上可知：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{20}{3}$，3）、（-$\frac{20}{3}$，-3）、（4，5）或（-4，-5）．
設(shè)直線OQ的解析式為y=ax，
當(dāng)Q點(diǎn)為（$\frac{20}{3}$，3）和（-$\frac{20}{3}$，-3）時(shí)，有3=$\frac{20}{3}$a，解得：a=$\frac{9}{20}$，
此時(shí)OQ的解析式為y=$\frac{9}{20}$x；
當(dāng)Q點(diǎn)為（4，5）和（-4，-5）時(shí)，有5=4a，解得：a=$\frac{5}{4}$，
此時(shí)OQ的解析式為y=$\frac{5}{4}$x．
∴直線OQ的解析式為y=$\frac{9}{20}$x或y=$\frac{5}{4}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出OC；（2）有點(diǎn)D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)的解析式；（3）分情況考慮．本題屬于中檔題，（3）難度不大，解決該問(wèn)時(shí)，先按以線段BC為邊和以線段BC為對(duì)角線兩大類來(lái)考慮，再按點(diǎn)P在x、y軸上分，解決該題型題目時(shí)離不開(kāi)圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是該問(wèn)的關(guān)鍵．