Question

矩形ABCD，CG⊥BD于G，DE平分∠CDB交CB于點E，交CG于點H，EF⊥BD于F．
（1）求證：四邊形CEFH是菱形；
（2）若矩形ABCD是正方形，且GH=2，求BE的長．

Answer 1

考點：菱形的判定,矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先證明四邊形CHFE是平行四邊形，然后再根據(jù)DE平分∠CDB可得CE=EF，進而得到四邊形CEFH是菱形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CB∥NF，進而可證GN=GF=2，根據(jù)勾股定理可得NF=2

2

，由菱形的性質(zhì)可得EF=NF，再次利用勾股定理計算出EB的長即可．

解答：（1）證明：∵CG⊥BD，EF⊥BD，
∴∠CGF=∠EFB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，CG∥EF，
∵DE平分∠CDB，
∴∠1=∠2，CE=EF，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CH=CE，
∴CH=EF，
∴四邊形CHFE是平行四邊形，
∵CE=EF，
∴四邊形CEFH是菱形；

（2）解：∵矩形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
由（1）可得四邊形CEFH是菱形，
∴BC∥FH，
∴∠CBF=∠HFG=45°，∠GHF=∠BCA=45°，
∵GH=2，
∴GF=2，
∴HF=2

2

，
∵四邊形CEFH是菱形，
∴EF=FH=2

2

，
∴EB=4．

點評：此題主要考查了菱形的判定，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確證明四邊形CHFE是平行四邊形．