Question

如圖，已知：AB為⊙O的直徑，AB=6，弧AC=弧AB，過B點的切線與AC的延長線交于點D．
（1）求OD的長；
（2）若P是AD上的任意一點（不與A、D重合），設(shè)PD=x，求△POD的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）連接OC．
∵弧AC=弧AB，
∴∠AOC=∠AOB=60°，
又OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠A=60°，
又BD為半圓的切線，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
又AB=6，
在Rt△ABD中，tanA=，
∴BD=ABtan60°=6×=18，
∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=12，
又半徑OB=AB=3，
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：
OD===3；

（2）過O作OE⊥AC，交AC于點E．
∵△ACO為等邊三角形，
∴AE=CE=AC=，又AO=3，
在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理得：OE==，
則三角形OPD的面積y=PD•OE=x•=x，且0＜x＜12．
分析：（1）連接OC，由弧AC=弧AB，根據(jù)等弧對等角得到∠AOC為60°，又OC=OA，則三角形AOC為等邊三角形，得到∠A為60°，在直角三角形ABD中，由銳角三角函數(shù)的定義得到tanA等于DB比AB，由tanA和AB的值，求出DB的值，由根據(jù)半徑OB為直徑AB的一半求出OB的長，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OD的長即可；
（2）過O作OE垂直于AC，即為三角形OPD中PD邊上的高，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到E為AC中點，由AC的長求出AE的長，在直角三角形AEO中，由OA和AE的長，利用勾股定理求出OE的長，利用PD乘以O(shè)E的一半即可表示出三角形OPD的面積，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，由三角形ABD為直角三角形，且∠ADB為30°，由AB的長，根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，即得到x的范圍．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及銳角三角函數(shù)定義，此類題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生掌握知識全面，借助圖形，多次利用轉(zhuǎn)化的思想來求解，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題，解決問題的能力．