Question

4．如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．
（1）求證：AG與⊙O相切；
（2）若AC=5，AB=12，BE=$\frac{13}{3}$，求線段OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF⊥BC，得∠BFE=90°，由對頂角相等和等邊對等角可得：∠BAO+∠GAE=90°，OA⊥AG，即AG與⊙O相切；
（2）證明△BEF∽△BCA，列比例式得：$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$，可求得EF和BF的長，利用勾股定理求OE的長．

解答 證明：（1）如圖，連接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
∴OA⊥AG，
即AG與⊙O相切；

（2）解：∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AC=5，AB=12，
∴BC=13，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$，
∴$\frac{BF}{12}=\frac{\frac{13}{3}}{13}=\frac{EF}{5}$，
∴EF=$\frac{5}{3}$，BF=4，
∴OF=OB-BF=$\frac{13}{2}$-4=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\sqrt{E{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5}{6}\sqrt{13}$．

點評 本題考查了切線的判定、三角形相似的性質和判定、勾股定理，熟練掌握切線的判定是關鍵，證明切線的常見的輔助線作法有：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常�！坝龅角悬c連圓心得半徑”．