Question

2．我們知道，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（如圖①所示）．請根據(jù)上述內(nèi)容探究下面問題：
（1）如圖②，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，動(dòng)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)，試證明CD=BE且CD⊥BE．
（2）如圖③，在（1）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)D在CB的延長線上運(yùn)動(dòng)，則CD與BE垂直嗎？請?jiān)跈M線上直接寫出結(jié)論，不必給出證明，答：CD⊥BE．
（3）如圖④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=90°，動(dòng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試問CD⊥BE還成立嗎？若成立，請給出證明過程．
（4）如圖④，已知在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=x°（90＜x＜180），點(diǎn)D在△
ABC內(nèi)，請?jiān)跈M線上直接寫出直線CD與直線BE相交所成的銳角（用x的代數(shù)式表示）．
答：直線CD與直線BE相交所成的銳角180°-x°．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△CAD≌△BAE，從而有CD=BE，∠ACD=∠ABE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理就可求出∠CBE=90°，從而得到CD⊥BE．
（2）借鑒（1）的證明思路就可得到CD⊥BE仍然成立．
（3）延長CD交BE于點(diǎn)F，交AB于O，如圖④，借鑒（2）的證明思路即可解決問題．
（4）延長CD交BE于點(diǎn)F，交AB于O，如圖⑤，借鑒（3）的證明思路即可解決問題．

解答 解：（1）如圖②，

∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE．
在△CAD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$．
∴△CAD≌△BAE（SAS）．
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE．
∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ACD=180°-∠CAB
∵∠CAB=90°，
∴∠CBE=180°-90°=90°即CD⊥BE．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí)，如圖③．

同理可得：∠CBE=90°即CD⊥BE．
故答案為：CD⊥BE．

（3）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)時(shí)，CD⊥BE仍然成立．
證明：如圖④，

延長CD交BE于點(diǎn)F，交AB于O．
同理可得：∠ACD=∠ABE．
∵∠C0B=∠ACO+∠CAO=∠ABE+∠OFB，
∴∠CAO=∠OFB．
∵∠CAO=90°，
∴∠OFB=90°，即CD⊥BE．

（4）延長CD交BE于點(diǎn)F，交AB于O，如圖⑤．

由（3）得∠CAO=∠OFB．
∵∠CAB=x°，
∴∠OFB=x°．
∴∠CFE=180°-x°．
∵90°＜x°＜180°，
∴0＜180°-x°＜90°．
∴直線CD與直線BE相交所成的銳角為180°-x°．
故答案為：180°-x°．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，還考查了運(yùn)用已有解題經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力．若頂角相等的兩個(gè)等腰三角形頂角頂點(diǎn)重合，則必然會(huì)出現(xiàn)全等三角形，且其中一個(gè)三角形可以由另一個(gè)三角形繞著頂角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得，我們把這種基本模型稱為旋轉(zhuǎn)全等型，熟悉基本模型可以提高解題速度，應(yīng)重視對基本模型的積累．