Question

如圖，以正方形ABCD的一邊AB為斜邊向外作Rt△AEB，過點(diǎn)E作EF⊥AB，連接EO
（1）若S_△AEB=6，EF=2，求正方形ABCD的面積；
（2）求證：∠BEO=∠AEO．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用S_△AEB的面積列式求出AB，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）取AB的中點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=EG=AG=BG，然后判斷出點(diǎn)A、E、B、O四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BEO=∠BAO，∠AEO=∠ABO，再根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠BAO=∠ABO=45°，從而得到∠BEO=∠AEO=45°．

解答：（1）解：∵EF⊥AB，
∴S_△AEB=

1

2

AB•EF=

1

2

AB•2=6，
解得AB=6，
∴正方形ABCD的面積為6²=36；

（2）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)G，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴OG=AG=BG，
∵△AEB是直角三角形，∠AEB=90°，
∴EG=AG=BG，
∴OG=EG=AG=BG，
∴點(diǎn)A、E、B、O四點(diǎn)共圓，
∴BEO=∠BAO，∠AEO=∠ABO，
由正方形的性質(zhì)，∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠BEO=∠AEO=45°，
故：∠BEO=∠AEO．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，（2）利用四點(diǎn)共圓和同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)求解更簡便．