Question

如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點．

(1)求證：△MBA≌△NDC；

(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC； 　　(2)四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有(1)可得到BM＝CN，再有中點得到PM＝NQ，再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ＝PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP＝MQ，進而證明四邊形MQNP是菱形． 　　解答：證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形， 　　∵AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， 　　∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點， 　　∴AM＝AD，CN＝BC， 　　∴AM＝CN， 　　在△MAB≌△NDC， 　　∵， 　　∴△MAB≌△NDC； 　　(2)四邊形MPNQ是菱形， 　　理由如下：連接AN， 　　易證：△ABN≌△BAM， 　　∴AN＝BM， 　　∵△MAB≌△NDC， 　　∴BM＝DN， 　　∵P、Q分別是BM、DN的中點， 　　∴PM＝NQ， 　　∵DM＝BN，DQ＝BP，∠MDQ＝∠NBP， 　　∴△MQD≌△NPB． 　　∴四邊形MPNQ是平行四邊形， 　　∵M是AB中點，Q是DN中點， 　　∴MQ＝AN， 　　∴MQ＝BM， 　　∴MP＝BM， 　　∴MP＝MQ， 　　∴四邊形MQNP是菱形． 　　點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，屬于基礎題目．

提示：

考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定．