Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一點(diǎn)，且CE=8，BC=12，CD=4

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，∠C=30°，∠B=60°．點(diǎn)P是線段BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），設(shè)PB的長(zhǎng)是x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
（3）P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形．

Answer 1

（1）分別過(guò)點(diǎn)A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G．


∵∠C=30°，且CD=4

3

，
∴DG=2

3

，CG=6，
∴DG=AF=2

3

，
∵∠B=60°，
∴BF=2．
∵BC=12，
∴FG=AD=4，（2分）
顯然，當(dāng)P點(diǎn)與F或點(diǎn)G重合時(shí)，
以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．
所以x=2或x=6；（2分）

（2）∵AD=BE=4，且AD∥BE，
∴當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，
即x=0時(shí)．點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，（2分）
又∵當(dāng)點(diǎn)P在CE中點(diǎn)時(shí)，EP=AD=4，且EP∥AD，
∴x=8時(shí)，點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；（2分）

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴x=0時(shí)，且PA=AD，
即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．（1分）
∵AB=BE，且∠B=60°，
∴△ABE為正三角形．
∴AE=AD=4．
即當(dāng)x=8時(shí)，即以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
∴當(dāng)BP=0或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．（1分）