Question

操作探究：小明用長(zhǎng)方形的彩紙ABCD，按照如下的方法折了一個(gè)紙飛機(jī)：
（1）使AB邊與DC邊重合折疊，然后展開，得出折痕EF（見圖1）；
（2）使ED、EA落在EF上，折成如圖2的樣子，并得折線EP，EQ（見圖2）；
（3）將P、Q向背面折疊，使EP、EQ都落在EF上（見圖3）；
（4）折后展成圖4的樣子，便得到了一個(gè)我們非常熟悉的紙飛機(jī)．為了便于看清飛機(jī)的形狀，我們給出它的三種視圖（圖5），圖中的虛線表示被遮擋的紙的邊緣線．
小明想把這個(gè)紙飛機(jī)寄給一位國(guó)外的小朋友做圣誕禮物，這就需要再做一個(gè)長(zhǎng)方體的硬紙盒子，像圖6那樣擺放，把它裝進(jìn)盒子（飛機(jī)不折疊）．如果長(zhǎng)方形彩紙ABCD的長(zhǎng)為26cm，寬為16cm，那么剛好把飛機(jī)裝入的紙盒的長(zhǎng)（XY）、寬（YZ）、高（XX₁）各是多少？（做紙盒的硬紙板的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：

2

=1.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92）

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）由飛機(jī)的俯視圖及展平圖得出PQ=2QQ′，利用三角函數(shù)求出PQ，即紙盒的寬．
（2）根據(jù)主視圖，作FG⊥EM，利用三角函數(shù)求出紙盒的高．
（3）利用飛機(jī)的主視圖．將飛機(jī)打開展平圖，求出EM及MB，利用MH=MB•cos∠BMH求出MH，利用紙盒的長(zhǎng)XY=EH=EM+MH，即可求出紙盒的長(zhǎng)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，YZ的長(zhǎng)即為圖（1）中PQ的長(zhǎng)，

如圖（1）為飛機(jī)的俯視圖．將飛機(jī)打開展平如圖（2）
此時(shí)欲求的PQ=2QQ′，而∠QEQ′=

180°

8

=22.5°，∠DEQ=∠DQE=45°．
所以DE=DQ=8．
所以QE=8

2

，QQ′=QE•sin22.5°=8

2

×0.38≈4.29．
所以PQ=2QQ′≈8.6cm．
（2）如圖（3），根據(jù)主視圖，作FG⊥EM，交EM的延長(zhǎng)線于G，則XX₁=FG=EFsin∠GEF=26×sin22.5°≈9.9cm．

（3）如圖4，過點(diǎn)B作BH⊥EM，交EM的延長(zhǎng)線于H，如圖5

EM=2EP′=2EP•cos∠PEP′=2×8

2

×0.92≈20.8cm．
MB=AB-AM=AB-AP-PM=AB-AE-EP=26-8-8

2

≈6.7cm．
MH=MB•cos∠BMH=6.7×0.92≈6.2cm．
所以紙盒的長(zhǎng)XY=EH=EM+MH=20.8+6.2≈27.0cm．
綜上所述，紙盒的長(zhǎng)、寬、高分別為27.0cm，8.6cm，9.9cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換，涉及三角函數(shù)，直角三角形及折疊問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意并能正確的作出輔助線，利用三角函數(shù)求解．