Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點A，點P(4，2)是⊙O外一點，連接AP，直線PB與⊙O相切于點B，交x軸于點C．

(1)證明PA是⊙O的切線；

(2)求點B的坐標(biāo)；

(3)求直線AB的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)證明：依題意可知，A(0，2) 　　∵A(0，2)，P(4，2)， 　　∴AP∥x軸． 　　∴∠OAP＝90°，且點A在⊙O上， 　　∴PA是⊙O的切線； 　　(2)解法一：連接OP，OB，作PE⊥x軸于點E，BD⊥x軸于點D， 　　∵PB切⊙O于點B， 　　∴∠OBP＝90°，即∠OBP＝∠PEC， 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC． 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC． 　　(或證Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　設(shè)OC＝PC＝x， 　　則有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵OB·BC＝OC·BD，即×2×＝××BD，∴BD＝． 　　∴OD＝＝＝， 　　由點B在第四象限可知B(，)； 　　解法二：連接OP，OB，作PE⊥x軸于點E，BD⊥y軸于點D， 　　∵PB切⊙O于點B， 　　∴∠OBP＝90°即∠OBP＝∠PEC． 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC， 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC(或證Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　設(shè)OC＝PC＝x， 　　則有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵BD∥x軸， 　　∴∠COB＝∠OBD， 　　又∵∠OBC＝∠BDO＝90°， 　　∴△OBC∽△BDO，∴＝＝， 　　即＝＝． 　　∴BD＝，OD＝． 　　由點B在第四象限可知B(，)； 　　(3)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b， 　　由A(0，2)，B(，)，可得； 　　解得∴直線AB的解析式為y＝－2x＋2． 　　[考點解剖]本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長、點的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等． 　　[解題思路](1)點A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PA⊥OA(∠OAP＝90°)即可，由A、P兩點縱坐標(biāo)相等可得AP∥x軸，所以有∠OAP＋∠AOC＝180°得∠OAP＝90°；(2)要求點B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切線，得Rt△OAP≌△OBP，從而得△OPC為等腰三角形，在Rt△PCE中，PE＝OA＝2，PC＋CE＝OE＝4，列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長，△OBC的三邊的長知道了，就可求出高BD，再求OD即可求得點B的坐標(biāo)；(3)已知點A、點B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式． 　　[解答過程]略． 　　[方法規(guī)律]從整體把握圖形，找全等、相似、等腰三角形；求線段的長要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例式求，要掌握一些求線段長的常用思路和方法． 　　[關(guān)鍵詞]切線　點的坐標(biāo)　待定系數(shù)法求解析式