Question

（2012•松北區(qū)三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處，直線BC與x軸的交于點(diǎn)D．
（1）試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AD交x軸于點(diǎn)H，y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P從H點(diǎn)出發(fā)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PH長(zhǎng)為t，過(guò)P點(diǎn)作MN∥x軸，交直線BC于M，交直線AD于N，若線段MN的長(zhǎng)為y，試用含有t的代數(shù)式表示y；
（3）當(dāng)y=

14

3

時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、P、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AB的長(zhǎng)以及線段AB的旋轉(zhuǎn)條件確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)都在平行于x軸的直線上，所以這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求y與t的關(guān)系式；
（3）需要分類討論：∠PAF=135°和∠PFA=135°兩種情況來(lái)求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n．
易得

n=3 2m+n=1

，
解得，

m=3  n=-1

所以直線BC的表達(dá)式為y=-x+3．
當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+3，x=3．
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）如圖2．
∵點(diǎn)D在直線BC上，
∴直線BD的解析式為y=-x+3．
∵A（2，3），D（3，0），
∴直線AD的解析式為y=-3x+9．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，9-t）．
∵M(jìn)N∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為（9-t），
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（t-6），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為

t

3

，
∴y=

t

3

-（t-6）=-

2t

3

+6；

（3）由題意可得，-

2t

3

+6=

14

3

，則t=2．
可求tan∠ADC=tan∠APB=

1

2

．
∴∠ACD=135°，
∴需要分兩種情況：
①若∠PAF=135°時(shí)，

PA

CD

=

PF

AD

，
∴PF=10，
∴F₁（0，-3）；
②若∠PFA=135°時(shí)，同理PF=2，則F₂（0，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）題時(shí)要分類討論，以防漏解．