Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，DF平分∠D，若以點D為圓心，DC長為半徑作弧，交邊AD于點E，聯(lián)結(jié)EF、BE、EC．
（1）求證：四邊形EDCF是菱形；
（2）若點F是BC的中點，請判斷線段BE和EC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)圓的性質(zhì)可得ED=DC，根據(jù)SAS證明△EDF≌△CDF，可得EF=CF，根據(jù)梯形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，由等角對等邊可得CF=CD，再根據(jù)菱形的判定即可求解；
（2）先根據(jù)平行四邊形的判定可證四邊形BEDF是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵DF平分∠D，
∴∠EDF=∠CDF，
∵DC長為半徑作弧，
∴ED=DC，
在△EDF與△CDF中，

ED=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF，
∵四邊形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CF=CD，
∴ED=DC=CF=EF，
∴四邊形EDCF是菱形．
（2）線段BE和EC的位置關(guān)系是垂直． 
∵點F是BC的中點，
∴BF=CF，
∴BF=ED，
∵ED∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BE∥DF 
∵四邊形EDCF是菱形，
∴EC⊥DF 
∴BE⊥EC．

點評：考查了梯形，解決此問題，要弄清梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)及菱形的判定．