Question

9．正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=45°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG．求證：EF=BE+DF．

Answer 1

分析 首先證明FG=BE+DF；其次證明AE=AG，∠EAF=∠FAG，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，即可解決問題．

解答 證明：如圖，由題意得：△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，BE=DG；
∴FG=BE+DF；
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG；
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG；
在△EAF與△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，而FG=BE+DF，
∴EF=BE+DF．

點評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等知識點及其應用問題；應牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等知識點；解題的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)變換過程中的不變量．