Question

△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的，求出DH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用S_△DEF的值求出EF即可．

解答：

（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，

∴△ADE∽ABD，

同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，

∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，

∴．

∵BD=CD，

∴．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，

∴AD=8

∴S_△ABC=BC•AD=×12×8=48．

S_△DEF=S_△ABC=×48=12．

又∵AD•BD=AB．DH，

∴DH===，

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD  

∵DG⊥EF，DH⊥BF，

∴DH=DG=．

∵S_△DEF=×EF×DG=12，

∴EF==5．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及三角形面積計(jì)算，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定得出對(duì)應(yīng)用邊與對(duì)應(yīng)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．