Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CE⊥AD于E，連BE，

CD

=

CB

．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）若AE=6，⊙O的半徑為5，求tan∠BEC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OC、BD，它們相交于F點，根據(jù)垂徑定理的推論由

CD

=

CB

得到OC⊥BD，F(xiàn)D=FB，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ADB=90°，則AE∥OC，而CE⊥AD，所以O(shè)C⊥CE，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到CE為⊙O的切線；
（2）設(shè)ED=x，則AD=6-x，則CF=DE=x，可得到OF=OC-CF=5-x，于是利用OF為△ABD的中位線得到6-x=2（5-x），解得x=4，則OF=1，DE=4，接著利用勾股定理計算出BF=2

6

，則BD=4

6

，根據(jù)正切的定義得到tan∠DBE=

DE

DB

=

6

6

，由于EC∥DB，所以∠DBE=∠BEC，于是有tan∠BEC=

6

6

．

解答：（1）證明：連接OC、BD，它們相交于F點，如圖，
∵

CD

=

CB

，
∴OC⊥BD，F(xiàn)D=FB
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AE∥OC，
∵CE⊥AD，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴CE為⊙O的切線；

（2）解：設(shè)ED=x，則AD=6-x，
∵∠DEC=∠EDC=∠DFC=90°，
∴四邊形EDFC為矩形，
∴CF=DE=x，
∴OF=OC-CF=5-x，
∵OF為△ABD的中位線，
∴AD=2OF，即6-x=2（5-x），解得x=4，
∴OF=1，DE=4，
在Rt△OBF中，BF=

OB2-OF2

=2

6

，
∴BD=2BF=4

6

，
∴tan∠DBE=

DE

DB

=

4

4 6

=

6

6

，
∵EC∥DB，
∴∠DBE=∠BEC，
∴tan∠BEC=

6

6

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理以及垂徑定理的推論．