Question

如圖，分別以△ABC的三邊為直徑作三個半圓，面積分別為S₁、S₂、S₃，S₁+S₂=S₃，求證：∠ACB=90°．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理

專題：證明題

分析：由S₁+S₂=S₃，根據(jù)圓的面積公式得出

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，即AC²+BC²=AB²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明∠ACB=90°．

解答：證明：∵S₁+S₂=S₃，S₁=

1

2

π（

1

2

AC）²=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
∴

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，
即AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理和圓的面積的應用，關鍵是推出

1

8

πAC²+

1

8

πBC²=

1

8

πAB²，注意：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．