Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象兩個交點的橫坐標為x₁，x₂，若．
（1）試用a，x₁，x₂表示b，c；
（2）若0＜t＜x₁，當x=t時二次函數(shù)的值記為f（t），試證明：t＜f（t）＜x₁．

Answer 1

解：（1）方程ax²+bx+c=x，即ax²+（b-1）x+c=0，其兩根分別是x₁，x₂，
于是． …（2分）
∴b=-ax₁-ax₂+1，c=ax₁x₂．

（2）當0＜t＜x₁時，f（t）-t=at²+bt+c-t=at²+（b-1）t+c
=at²-a（x₁+x₂）t+ax₁x₂
=a（t-x₁）（t-x₂）
∵0＜t＜x₁，x₁＜x₂，a＞0，
∴t-x₁＜0，t-x₂＜0，
∴a（t-x₁）（t-x₂）＞0．
從而f（t）-t＞0，f（t）＞t．f（t）-x₁=at²-bt+c-x₁
=a[t²-（x₁+x₂）t+x₁x₂]+（t-x₁）=a（t-x₁）（t-x₂）+（t-x₁）
=（t-x₁）[1-a（x₂-t）]
∵0＜t＜x₁，，a＞0，
∴
∴（t-x₁）[1-a（x₂-t）]＜0．
從而f（t）-x₁＜0，f（t）＜x₁．
故t＜f（t）＜x₁．
分析：（1）將方程ax²+bx+c=x變形為ax²+（b-1）x+c=0，利用根與系數(shù)的關系，可以得到b=-ax₁-ax₂+1，c=ax₁x₂．
（2）當0＜t＜x₁時，分別計算f（t）-t＞0和f（t）-x₁＜0就可以證明題目的結論．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解決本題的關鍵是對函數(shù)的解析式進行正確的變形．