Question

7．如圖1，線段AB與線段CD的中點重合，根據(jù)“邊角邊”可以得到△ACO≌△BDO，進一步可以得到對應的邊相等，對應的角相等．
（1）問題探究：
①如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為BC的中點，∠BAE=∠EAD，試探究AB與AD、CD之間的等量關系，并證明你的結論；
②如圖3，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，點E是BC的中點，且∠BAE=∠EDF，CF∥AB，試探究AB與DE、CF之間的等量關系，并證明你的結論；
（2）拓展延伸
①如圖4，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，試探究AB與DF、CF之間的等量關系，并證明你的結論：
②如圖所示，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，直接寫出AB與DF、CF之間的等量關系．

Answer 1

分析 （1）①結論：AD=AB+CD．如圖2中延長AE、DC交于點F，只要證明△ABE≌△FCE以及DA=DF即可．
結論DF=AB-CF，如圖3中延長DE、CF交于點G，只要證明△ABE≌△GCE，以及DF=FG即可．
（2）①結論：DF=2•AB-CF，如圖4中，延長DE、CF交于點G，只要證明△ABE∽△GCE以及DF=FG；
②結論：DF=n•AB-CF證明方法類似①．

解答 解：（1）①結論：AD=AB+CD．理由如下，
如圖2中，延長AE、DC交于點F．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠ECF，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，∠BAE=∠F=∠DAF
∴DA=DF，
∴AD=DC+CF=CD+AB．
②結論：DF=AB-CF，理由如下，
如圖3中，延長DE、CF交于點G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，
∴DF=GC-CF=AB-AF．
（2）①結論：DF=2•AB-CF．理由如下，
如圖4中，延長DE、CF交于點G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{2}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=2•AB，
∴DF=CG-CF=2•AB-CF．
②結論：DF=n•AB-CF．理由如下，
如圖4中，延長DE、CF交于點G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{n}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=n•AB
∴DF=CG-CF=n•AB-CF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是倍長中線添加輔助線，構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．