Question

20．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點是點A（3，0），其部分圖象如圖，則下列結論：
①2a+b=0；
②b²-4ac＜0；
③一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的另一個解是x=-1；
④點（x₁，y₁），（x₂，y₂）在拋物線上，若x₁＜0＜x₂，則y₁＜y₂．
其中正確的結論是①③（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 ①根據對稱軸列式可得；
②由拋物線與x軸交點的個數判定；
③由對稱性得；
④分四種情況進行討論：因為對稱軸的左右增減性不同，分為在同側，兩側時，兩側時還要分在對稱點左右時，與圖形相結合作出判斷．

解答 解：①因為二次函數的對稱軸為x=1，所以-$\frac{2a}$=1，即-b=2a，2a+b=0，故①正確；
②由圖象知拋物線與x軸有兩個不同的交點，即一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，此時b²-4ac＞0，故②錯誤；
③由于拋物線的圖象與x軸的一個交點是A（3，0），對稱軸為x=1，根據拋物線的對稱性知，拋物線與x軸另一個交點是（-1，0），即一元二次方程ax²+bx+c=0的另一個解是x=-1，故③正確；
④分四種情況：（1）當0＜x₂＜1時，在對稱軸左側y隨x的增大而增大，此時 y₁＜y₂；（2）因為對稱軸是x=1，所以當1-x₁=x₂-1時對稱，當1＜x₂＜2-x₁時，y₁＜y₂；（3）當x₂=2-x₁時，y₁=y₂，（4）當x₂＞2-x₁時，y₁＞y₂；所以④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題考查了拋物線與x軸交點及與二次函數圖象與系數的關系，做好本題要知道以下幾點：
①當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．⑤拋物線對稱軸x=-$\frac{2a}$；⑥a＞0時，拋物線對稱軸左側，y隨x的增大而增大，右側，y隨x的增大而減小；
a＜0時，拋物線對稱軸右側，y隨x的增大而增大，左側，y隨x的增大而減小；第⑥條在應用時較難，注意利用數形結合的思想．