Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點B在直線y=2x上，過點B作x軸的垂線，垂足為A，OA=5．若拋物線過點O、A兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若A點關(guān)于直線y=2x的對稱點為C，判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙O₁是以BC為直徑的圓．過原點O作O₁的切線OP，P為切點（P與點C不重合），拋物線上是否存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與O₁相切？若存在，求出點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分別代入y=x²+bx+c，
得，
解得；
∴該拋物線的解析式為y=x²﹣x；
（2）點C在該拋物線上．理由：過點C作CD⊥x軸于點D，連接OC，設(shè)AC交OB于點E
∵點B在直線y=2x上，
∴B（5，10）
∵點A、C關(guān)于直線y=2x對稱，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x軸，由勾股定理得OB=
∵S_Rt△OAB=
∴AE=2，
∵AC=4；
∴∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，∴△CDA∽△OAB
∴==；CD=4，AD=8；C（﹣3，4）
當(dāng)x=﹣3時，y=×9﹣×（﹣3）=4；
∴點C在拋物線y=x²﹣x上；
（3）拋物線上存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O₁相切；
過點P作PF⊥x軸于點F，連接O₁P，過點O₁作O₁H⊥x軸于點H；

∴C（﹣3，4），B（5，10）
∵O₁是BC的中點，
∴由平行線分線段成比例定理得AH=DH=AD=4，
∴OH=OA﹣AH=1，同理可得O₁H=7，
∴點O₁的坐標(biāo)為（1，7）
∴BC⊥OC，⊙OC為⊙O₁的切線；
又∵OP為⊙O₁的切線，
|∴OC=OP=O₁C=O1P=5
∴四邊形OPO1C為正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
直線O₁P的解析式為y=x+；
∴點Q的橫坐標(biāo)為或．