Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線BD與邊AB互相垂直，AB=8cm，BD=4cm，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AD-DB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)E在AD上以

5

m/s的速度運(yùn)動(dòng)，在DB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，以EF為邊作正方形EFGH，使點(diǎn)G落在線段AF上．設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AD邊上時(shí)，求t的值；
（2）在E的運(yùn)動(dòng)過程中，正方形EFGH與△ABD重合部分的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E到過點(diǎn)D時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CD上以8cm/s的速度沿C-D-C連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．連接PE，直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，滿足PE∥BC時(shí)t的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：解題思想

分析：（1）根據(jù)相似三角形，用t表示相關(guān)邊長(zhǎng)；
（2）重疊部分的面積等于正方形的面積減去三角形的面積；
（3）由兩直線平行，得出三角形相似，利用相似比，分類討論．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DB邊上時(shí)，點(diǎn)H才可能落在AD邊上．
在直角△ABD中，AD=8cm，BD=4cm．
由勾股定理，得AD=4

5

cm．
從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D用時(shí)間t=4秒，
則DE=t-4，
∵四邊形HEFG是正方形，
∴BE=HE=BD-DE=4-（t-4）=8-t．
∵△DEH∽△DBA，
∴

DE

DB

=

EH

AB

，

t-4

4

=

8-t

8

，
解得t=

16

3

秒
（2）設(shè)HG與AD相交于點(diǎn)I，tan∠A=

BD

AB

=

EF

AF

=

IG

AG

=

1

2

，EF=

1

2

AF，IG=

1

2

AG
①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，∵△AFE∽△ABD，

AE

AD

=

EF

BD

，AE=

5

t，解得EF=t，AF=2t，GF=t，AG=2t-t=t，IG=

1

2

t．HI=

1

2

t．S=t²-

1

2

×

t

2

×t=

3

4

t^2
②當(dāng)4＜t＜

16

3

時(shí)，設(shè)HE與AD相交于點(diǎn)M，tan∠ADF=

AB

BD

=

ME

DE

=2，ME=2DE=2（t-4）=2t-8，GF=EF=4-（t-4）=8-t，AG=AF-GF=8-（8-t）=t，GI=

1

2

t．S=（8-t）²-

1

2

×

t

2

×(16-3t)=

7

4

t²-20t+64
③當(dāng)

16

3

＜t＜8時(shí)，正方形EFGH與△ABD重合部分的面積為正方形EFGH，S=（8-t）²=t²-16t+64．
（3）設(shè)點(diǎn)E到過點(diǎn)D后，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為a，∵PE∥BC，∴△DEP∽△DBC，

DE

DB

=

DP

DC

①P在D→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP=8-8a，

a

4

=

8-8a

8

，解得a=

4

5

②P在D→C→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP=8a-8，

a

4

=

8a-8

8

，解得a=

4

3

③P在D→C→D→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP=24-8a，

a

4

=

24-8a

8

，解得a=

12

5

④P在D→C→D→C→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP=8a-24，

a

4

=

8a-24

8

，解得a=4．此時(shí)PE與BC重合．
因此滿足PE∥BC時(shí)t的取值分別為

24

5

秒，

16

3

秒，

32

5

秒．

點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，難度較大，分類情況較多，考慮要全面．