Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線 y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）如圖1，P為線段AB上一點(diǎn)，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD．點(diǎn)Q在AD上，連接PQ，過作射線PF⊥PQ交x軸于點(diǎn)F，作PG⊥x軸于點(diǎn)G．求證：PF=PQ；
（3）如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED．若P為線段EB的中點(diǎn)，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

PD解：（1）直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．

∴A（-6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴∠BAO=∠ABO
在△AOB中，∠AOB=90°．
∴∠BAO=∠ABO=45°．
（2）在等腰直角三角形APD中，∠PDA=90°，DA=DP，∠1=∠APD=45°．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得∠BAO=45°．
∴∠BAO=∠1．
又∵PG⊥x軸于G，
∴PG=PD．
∴∠AGP=∠PGF=∠D=90°．
∴∠4=∠BAO=45°．
∴∠4+∠APD=∠DPG=90°．
即∠3+∠GPQ=90°．
又∵PQ⊥PF，
∴∠2+∠GPQ=90°．
∴∠2=∠3．
在△PGF和△PDQ中，
∴△PGF≌△PDQ（ASA）．
∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP=DP．
證明：延長DP至H，使得PH=PD．
∵P為BE的中點(diǎn)，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，，
∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED．
∴∠3=∠4．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，∠DAE=∠DEA=45°．
∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90°．
∴DE∥x軸，BH∥x軸，BH⊥y軸．
∴∠DAO=∠HBO=90°．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，，
∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6．
∵∠AOB=∠5+∠DOB=90°，
∴∠DOH=∠6+∠DOB=90°．
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，．
∴∠ODP=∠7．
∴OP=PD．
分析：（1）利用函數(shù)解析式求出A、B的坐標(biāo)，從而得出OA、OB的長，判斷出△AOB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到∠BAO的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形APD為等腰直角三角形，中PG⊥x軸于G，判斷出DP⊥AD，結(jié)合（1）可得∠BAO=45°．
從而∠BAO=∠1，再根據(jù)PG⊥x軸于G，得到PG=PD，再根據(jù)∠3+∠GPQ=90°，∠2+∠GPQ=90°求出∠2=∠3，從而而判斷出△PGF≌△PDQ，可知PF=PQ．
（3）先證出△PBH≌△PED得到∠3=∠4，從而得到BH∥ED，再證出△DAO≌△HBO，得到OD=OH，∠5=∠6，然后在等腰直角三角形△DOH中，∠ODP=∠7，得到OP=PD．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大．