Question

如圖，已知PH是Rt△ABC斜邊AC上的垂直平分線，垂足為點H，并交直角邊AB于點P，D是PH上一點，且AD是AP與AB的比例中項．求證：
（1）AP•AB=AH•AC； 
（2）△ACD是等腰直角三角形．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得∠AHD=90°，CD=AD，根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似易得△APH∽△ACB，則

AP

AC

=

AH

AB

，然后利用比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由AD是AP與AB的比例中項得AD²=AP•AB，加上（1）的結(jié)論可得AH•AC=AD²，寫成比例式為

AD

AC

=

AH

AD

，加上∠DAH=∠CAD，于是根據(jù)相似三角形的判定得到可得△ADH∽△ACD，所以∠ADC=∠AHD=90°，由于CD=AD，于是可判斷△ACD是等腰直角三角形．

解答：證明：（1）∵PH是AC的垂直平分線，
∴∠AHD=90°，CD=AD，
∴∠PHA=∠B=90°，
∵∠PAH=∠BAC，
而∠PAH=∠CAB，
∴△APH∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AH

AB

，
∴AH•AC=AP•AB；
（2）∵AD是AP與AB的比例中項，
∴AD²=AP•AB，
∴AH•AC=AD²，
∴

AD

AC

=

AH

AD

，
∵∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴∠ADC=∠AHD=90°，
∵CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：靈活運用三角形相似的判定定理；理解比例中項的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)；掌握等腰直角三角形的判定方法．