Question

已知AB=AC=6，BC=9，點P、D分別在邊BC、AC上，BP=4，∠APD=∠B．
（1）求CD的長；
（2）求證：PD∥AB．

Answer 1

（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵BC=9，BP=4，
∴PC=9-4=5，
∵AB=6，BP=4，BC=9，
∴，
∴CD=；

（2）證明：∵CD=，AC=6，PC=5，BC=9，
∴，
∵∠C是公共角，
∴△PCD∽△BCA，
∴∠DPC=∠B，
∴PD∥AB．
分析：（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性質(zhì)，可得∠BAP=∠APD，繼而可證得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得CD的長；
（2）易求得，則可證得△PCD∽△BCA，即可得∠DPC=∠B，則可判定PD∥AB．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．