Question

20．如圖①，A（8，6），AB⊥y軸于B點(diǎn)，點(diǎn)R從原點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B以相同的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）；
（2）過(guò)R點(diǎn)作RP⊥OA交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)R在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BRQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，如圖②，求點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)速度；
（3）如果點(diǎn)R、Q保持（2）中的速度不變，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PRQ與△OAB的重疊部分的面積為y，請(qǐng)求出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用直線垂直于y軸，得到該直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等即可；
（2）根據(jù)題意列出方程S=$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x），求解即可；
（3）先求出點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)速度為2，確定出0≤t_總≤4，再分兩種情況計(jì)算用面積的和差即可．

解答 解：（1）A（8，6），AB⊥y軸于B點(diǎn)，
則B（0，6）．
故答案為（0，6）；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為x，
∵△BRQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分
∴S=$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x），
∴$\frac{1}{2}$（6-2x）（8-2x）=4，
∴x₁=2，x₂=5（舍），
（3）如圖①，∵PR⊥OA，
∴∠ROA+∠ORP=90°．
∵∠ROA+∠BAO=90°，
∴∠ORP=∠BAO
∴tan∠BAO=$\frac{6}{8}$，tan∠ORP=$\frac{OP}{OR}$，
∴$\frac{OP}{2t}=\frac{6}{8}$，
∴OP=$\frac{3}{2}$t，
∵Q（8-2t，6），
∴$\frac{OP}{AQ}=\frac{3}{4}$，
∵△OPM∽△AQM，
∴△OPM的邊OP與△AQM的邊AQ上的高的比為$\frac{3}{4}$，
∴△AQM的邊AQ上的高為$\frac{24}{7}$，
∴y=S_△ABO-S_△AQM-S_△BRQ-S_△ORN=$\frac{250-40\sqrt{30}}{175}$t²+t，
設(shè)點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)速度為x，當(dāng)t=2時(shí)，$\frac{1}{2}$（8-2x）（6-2x）=4，
∴x₁=2，x₂=5（舍），
即：點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)速度為2，
∴0≤t_總≤4，
①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，
y=S_△AOB-S_△BQR-S_△AQN-S_△RMO
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$（8-2t）（6-2t）-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{24}{7}$-×$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$t×$\frac{8}{5}$t
=-$\frac{74}{25}$t²+$\frac{74}{7}$t．
②當(dāng)3＜t≤$\frac{25}{7}$時(shí)，
y=$\frac{27}{50}$t²-$\frac{87}{7}$t+$\frac{75}{2}$
③當(dāng)$\frac{25}{7}$＜t≤4時(shí)，
y=-$\frac{27}{50}$t²+$\frac{87}{7}$t-$\frac{75}{2}$

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)動(dòng)中線段的表示，幾何圖形的面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是用時(shí)間表示出線段，難點(diǎn)是計(jì)算量太大．