Question

18．如圖，等邊三角形ABC的頂點A，B落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限的圖象上，且AC⊥x軸于點C，點C坐標為（3，0），則k的值是（　�。�

• A． 6
• B． 12
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過點B作BD⊥x軸，由題意知點B坐標為（3，$\frac{k}{3}$），根據(jù)等邊三角形可得AC=BC=$\frac{k}{3}$、∠ACB=60°，在Rt△BCD中解直角三角形可得點B坐標為（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$），將其代入解析式可得k的值．

解答 解：如圖，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵AC⊥x軸于點C，點C坐標為（3，0），
∴設點B坐標為（3，$\frac{k}{3}$），
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=$\frac{k}{3}$，∠ACB=60°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴CD=BCcos∠BCD=$\frac{k}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，
BD=BCsin∠BCD=$\frac{k}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{k}{6}$，
則點B坐標為（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$），
將點B（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$得：（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$）$\frac{k}{6}$=k，
解得：k=0（舍）或k=6$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形，根據(jù)題意表示出點B的坐標是解題的關鍵．