Question

如圖，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，對角線CA平分∠BCD，且梯形的周長為20，則AC=

4

3

，梯形ABCD的面積為

12

3

．

Answer 1

分析：由已知可得梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及已知可求得AB的長，從而不難求得AC的長，再過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，從而可求得AE的長，根據(jù)梯形面積公式不難求得其面積．

解答：解：∵在梯形ABCD中，AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠D+∠DCB=180°
∵∠D=120°
∴∠B=∠DCB=60°
∵對角線CA平分∠BCD
∴∠ACB=30°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠ACD=30°
∴∠BAC=90°
∴BC=2AB
∵梯形的周長=AD+DC+BC+AB=5AB=20
∴AB=4
∴AC=4

3

，BC=8
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E
∵AB=4，AC=4

3

，BC=8
∴AE=2

3

∴梯形ABCD的面積=（4+8）×2

3

×

1

2

=12

3

．
故答案為：4

3

，12

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是弄清各邊之間的關(guān)系，從而根據(jù)周長求得各邊的長．