Question

1．如圖所示，已知直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點P是線段AB上的一個動點，連結(jié)OP，把△ABO分成兩個小三角形，分別是△AOP和△BOP，當AP的長為多少時，△AOP和△BOP中至少有一個是等腰三角形？

Answer 1

分析 先求得點A和點B的坐標，從而得到OA=3，OB=4，由勾股定理可知AB=5，如圖1所示：AP=AO時，AP=OA=4；如圖2所示：OP=OA時，過點O，作OC⊥AB，垂足為C．先證明△OAC∽△BAO，由相似三角形的性質(zhì)可求得AC=$\frac{9}{5}$，然后由等腰三角形的性質(zhì)可知PC=AC，從而求得PA=$\frac{18}{5}$；如圖3所示；點P為AB的中點，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知△APO和△BPO均為等腰三角形，從而可求得PA=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{5}{2}$；如圖4所示：BP=BO時，BO=PB=4，最后根據(jù)PA=AB-BP可求得AP=1．

解答 解：∵令x=0得：y=4，
∴點B的坐標為（0，4）．
∴OB=4．
∵令y=0得：-$\frac{4}{3}$x+4=0．
∴x=3．
∴點A的坐標為（3，0）．
∵在Rt△AOB中由勾股定理可知：AB²=OB²+OA²，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
如圖1所示：AP=AO時．

∵OA=3，
∴PA=3．
如圖2所示：OP=OA時，過點O，作OC⊥AB，垂足為C．

∵∠A=∠A，∠OCA=∠AOB，
∴△OAC∽△BAO．
∴$\frac{AC}{OA}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{AC}{3}=\frac{3}{5}$．
解得：AC=$\frac{9}{5}$．
∵OP=OA，OC⊥PA，
∴PC=AC．
∴PA=2AC=$\frac{18}{5}$．
如圖3所示；點P為AB的中點．

∵點P為AB的中點，∠BOA=90°，
∴OP=PB=PA．
∴△APO和△BPO均為等腰三角形．
∴PA=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{5}{2}$．
如圖4所示：BP=BO時．

∵BO=4，
∴PB=4．
∴PA=AB-BP=5-4=1．
綜上所述，當AP=3或AP=$\frac{18}{5}$或AP=$\frac{5}{2}$或AP=1時，△AOP和△BOP中至少有一個是等腰三角形．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，根據(jù)△AOP和△BOP中至少有一個是等腰三角形畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．