Question

1．線段BE上有一點C，以BC，CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形ABC，DCE，還接AE，BD，分別交CD，CA于Q，P．
（1）找出圖中的幾組全等三角形，又有哪幾種相等的線段？
（2）取AE的中點M、BD的中點N，連接MN，試判斷三角形CMN的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DCN≌△ECM，進而得出∠NCM=60°，利用等邊三角形的判定得出即可．

解答 解：∵等邊三角形ABC、DCE，
∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，∠1=∠2，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠PCQ=60°，
在△PCD和△QCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=CE}\\{∠PCD=∠QCE}\end{array}\right.$
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，PD=QE．
∴圖中全等的三角形有：△PCD≌△QCE，△BCD≌△ACE；
相等的線段有：AB=AC=BC，DC=CE=DE，BD=AE，PC=QC，PD=QE．
（2）等邊三角形．
理由：由△BCD≌△ACE，可得∠1=∠2，BD=AE，M是AE的中點、N是BD的中點，
∴DN=EM，又DC=CE，
在△DCN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=EM}\\{∠1=∠2}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△ECM（SAS），
∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°，
所以∠NCD+∠DCM=60°，
即∠NCM=60°，
∴△CMN為等邊三角形．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知熟練利用等邊三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．