Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α度，得到△A₁BC₁，A，B交AC于點E，A₁，C₁分別交AC，BC于點D，F(xiàn)，下列結(jié)論：①∠CDF=α，②A₁E=CF，③DF=FC，④AD=CE，其中正確的是

 

（寫出正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BA=BC得∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA₁=BC=BC₁，∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠A=∠A₁=∠C=∠C₁，而根據(jù)對頂角相等得∠BFC₁=∠DFC，于是可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CDF=∠FBC₁=α；利用“ASA”證明△BAE≌△BC₁F，則BE=BF，所以A₁E=CF；由于∠CDF=α，則只有當旋轉(zhuǎn)角等于∠C時才有DF=FC；連接BD，如圖，由于∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠CBE=∠ABC-∠ABE=α，而∠DBC不能確定為α，則不能判斷△ABD與△CBE全等，所以不能得到AD=CE．

解答：解：∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α度，得到△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠A=∠A₁=∠C=∠C₁，
∵∠BFC₁=∠DFC，
∴∠CDF=∠FBC₁=α，所以①正確；
∴BA=BA₁=BC=BC₁，
在△BAE和△BC₁F中

∠A=∠C1 BA=BC1 ∠ABE=∠C1BF

，
∴△BAE≌△BC₁F（ASA），
∴BE=BF，
而BA₁=BC，
∴A₁E=CF，所以②正確；
∵∠CDF=α，
∴當旋轉(zhuǎn)角等于∠C時，DF=FC，所以③錯誤；
連接BD，如圖，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠CBE=∠ABC-∠ABE=α，
而∠DBC不能確定為α，
∴不能判斷△ABD與△CBE全等，
∴不能得到AD=CE，所以④錯誤．
故答案為①②．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．