Question

6．如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，矩形DEFG內接于△ABC中，如果DG：DE=3：5，求矩形DEFG的周長．

Answer 1

分析 首先過點C作CN⊥AB于點N，由在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可求得AB與CN的長，易得△CGF∽△CAB，然后由相似三角形的對應高的比等于相似比，求得答案．

解答 解：過點C作CN⊥AB于點N，
∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴CN=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵DG：DE=3：5，
∴設DG=3x，DE=5x，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴FG∥AB，DE=FG=5x，MN=DG=3x，
∴CM⊥FG，△CGF∽△CAB，
∴$\frac{FG}{AB}$=$\frac{CM}{CN}$，
∴$\frac{5x}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-3x}{\frac{12}{5}}$，
解得：x=$\frac{4}{9}$，
∴矩形DEFG的周長為：2（3x+5x）=$\frac{64}{9}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及矩形的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．