Question

如圖，矩形ABCD中，AB=a，AD=b，P是邊DC上的任意一點(diǎn)，連接PA、PB，點(diǎn)E、F、G分別是AB、BP、PA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFPG是平行四邊形；
（2）試猜想：當(dāng)P位于什么位置時(shí)，四邊形EFPG是菱形？并證明猜想的正確性；
（3）以下是小慧和小聰?shù)囊欢螌?duì)話：

你贊成誰(shuí)的觀點(diǎn)？如果贊成小慧，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果贊成小聰，請(qǐng)直接寫出a與b之間的關(guān)系式．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)E、F、G分別是AB、BP、PA的中點(diǎn)，
∴EG∥PB，EF∥PA，∴四邊形EFPG是平行四邊形．

（2）解：當(dāng)P位于DC中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFPG是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，DA=CB．
又∵P為DC中點(diǎn)，∴DP=CP．
∴△DAP≌△CBP，∴PA=PB．
∵F、G分別是PB、PA的中點(diǎn)，
∴PG=PF．
又∵四邊形EFPG是平行四邊形，
∴四邊形EFPG是菱形．

（3）解：我贊成小聰?shù)挠^點(diǎn)，理由如下：
由（2）知，當(dāng)P位于DC中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFDG即為菱形．
即△DAP≌△CBP時(shí)，當(dāng)a=2b時(shí)，∠APD=∠BPC=45°，此時(shí)菱形EFDG是正方形，
當(dāng)a=2b時(shí)，菱形EFDG是正方形．
分析：（1）運(yùn)用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明；
（2）當(dāng)P位于DC中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFPG是菱形．先由矩形的性質(zhì)，得∠D=∠C=90°，DA=CB，再根據(jù)中點(diǎn)的定義證明△DAP≌△CBP，從而得PA=PB，再根據(jù)中點(diǎn)的定義證得PG=PF，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形得證四邊形EFPG是菱形．
（3）小聰?shù)挠^點(diǎn)正確，由平行四邊形EFDG為菱形，當(dāng)∠APB=90°時(shí)，菱形EFDG是正方形，根據(jù)△DAP≌△CBP，只有∠APD=∠BPC=45°時(shí)，菱形EFDG是正方形，此時(shí)a=2b．
點(diǎn)評(píng)：解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．