Question

如圖1，P是∠AOB的平分線OC上的一點，過點分別作OA，OB的垂線，垂足分別為點D和點H，E是線段上一點是線段OD上一點，且DE=FH；

（1）證明：點P在線段EF的中垂線上；
（2）如果點E在射線DA上，如圖2，其余的條件都不變，那么（1）的結(jié)論是否依然成立？

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PH，再利用“HL”證明Rt△OPH和Rt△OPD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD=OH，然后求出OE=OF，再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線證明；
（2）連接PE、PF，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PH，再利用“邊角邊”證明△PED和△PFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PE=PF，根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線證明．

解答：（1）證明：∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在Rt△OPH和Rt△OPD中，

OP=OP PD=PH

，
∴Rt△OPH≌Rt△OPD（HL），
∴OD=OH，
∵DE=FH，
∴OD-DE=OH-FH，
即OE=OF，
∴點P在線段EF的中垂線上；

（2）解：結(jié)論依然成立．
理由如下：連接PE、PF，
∵PD⊥OA，PH⊥OB，
∴∠PDE=∠PHF=90°，
∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PD=PH，
在△PED和△PFH中，

PD=PH ∠PDE=∠PHF=90° DE=FH

，
∴△PED≌△PFH（SAS），
∴PE=PF，
∴點P在線段EF的中垂線上．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．