Question

如圖，Rt△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（0，），B（，），C（1，0），∠ABC=90°，BC與y軸的交點為D，D點坐標(biāo)為（0，），以點D為頂點y軸為對稱軸的拋物線過點B．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）將△ABC沿AC折疊后得到點B的對應(yīng)點B'，求證：四邊形AOCB'是矩形，并判斷點B'是否在（1）的拋物線上．
（3）延長BA交拋物線于點E，在線段BE上取一點P，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點F，是否存在這樣的點P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+，
∵B（，）在拋物線上，
∴把B（，）代入y=ax²+
得a=．
∴拋物線解析式為y=x²+．

（2）∵點B（，），A（0，），
∴CB=，
∴CB'=CB=OA．
又CA==2
∴AB==1
∴AB'=AB=OC．
∴四邊形AOCB'是矩形．
∵CB'=，OC=1，
∴B'點的坐標(biāo)為（1，）．
∵當(dāng)x=1時，代入y=x²+得y=，
∴B'（1，）在拋物線上．

（3）存在．
理由是：設(shè)BA的解析式為y=kx+b，
∴
∴
∵P，F(xiàn)分別在直線BA和拋物線上，且PF∥AD，
∴設(shè)P（m，m+），F(xiàn)（m，m²+）
PF=（m+）-（m²+），AD=-=
如果PF=AD，則有
=（m+）-（m²+）=
解得m₁=0（不符合題意舍去），m₂=．
∴當(dāng)m=時，PF=AD，
存在四邊形ADFP是平行四邊形．
當(dāng)m=時，m+=，
∴P點的坐標(biāo)是（，）．
分析：（1）設(shè)拋物線解析式，因點B在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；
（2）△ABC沿AC折疊，要用到點的對稱，得到B′的坐標(biāo)然后驗證是否在拋物線上；
（3）假設(shè)存在，設(shè)直線BA的解析式，根據(jù)B、A坐標(biāo)解出直線BA的解析式，用m表示出P點坐標(biāo)，因為PF=AD可以得到P點坐標(biāo)．
點評：考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨特，考查的知識點很全面，是一道綜合性題型．