Question

如圖，半圓O的直徑AD=12cm，AB、BC、CD分別與半圓O切于點A、E、D．
（1）線段AB、CD與BC之間有什么關系？并說明理由；
（2）設AB=x，CD=y，求y與x之間的函數關系式；
（3）如果AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）AB+CD=BC．
∵CB、BA和CD都是半圓O的切線
由切線長定理得：
CE=CD，BE=BA
∴AB+CD=BC

（2）過點B作BF⊥CD于F，如圖所示：

∵BA、CD是半圓O的切線，AD是半圓O的直徑，
∴BA⊥AD，CD⊥AD，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=12，DF=AB=x，
∴CF=CD-DF=y-x；
∵BC=AB+CD=x+y，
在Rt△CFB中，BF²+CF²=BC²，
∴12²+（y-x）²=（y+x）²，
∴y與x之間的函數關系式為：
．

（3）當AB=4時，即x=4，則，
∴CD=9cm，
∵cm²，cm²；
∴S_陰=S_梯-S_半圓=（78-18π）cm²．
分析：（1）由CB、BA和CD都是半圓O的切線，由切線長定理得：CE=CD，BE=BA，所以：AB+CD=BC；
（2）過點B作BF⊥CD于F，由BA、CD是半圓O的切線，AD是半圓O的直徑，可得BA⊥AD，CD⊥AD，故BF=AD=12，DF=AB=x；在Rt△CFB中，BC²=BF²+FC²，可得出y與x之間的函數關系式；
（3）因為AB=4，代入函數關系式可得出y的值，由x、y可得出梯形和半圓的面積，由S_陰=S_梯-S_半圓可得出陰影部分的面積．
點評：本題考查了切線的性質，梯形的面積，勾股定理的應用．