Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C(注：不含AB線段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．

(1)求兩條射線AE，BF所在直線的距離；

(2)當一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；當一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；

(3)已知□AMPQ(四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列)的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分別連結AD、DB，則點D在直線AE上，如圖1， 　　∵點D在以AB為直徑的半圓上， 　　∴Ð ADB＝90°， 　　∴BD⊥AD． 　　在Rt△DOB中，由勾股定理得 　　BD＝＝． 　　∵AE∥BF，兩條射線AE、BF所在直線的距離為． 　　(2)當一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值范圍是b＝或－1＜b＜1； 　　當一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是 　　1＜b＜； 　　(3)假設存在滿足題意的□AMPQ，根據(jù)點M的位置，分以下四種情況討論： 　�、佼旤cM在射線AE上時，如圖2． 　　∵A、M、P、Q四點按順時針方向排列， 　　∴直線PQ必在直線AM的上方， 　　∴P、Q兩點都在AD弧上，且不與A、D 　　重合．∴0＜PQ＜． 　　∵AM∥PQ且AM＝PQ， 　　∴0＜AM＜，∴－2＜x＜－1． 　�、诋旤cM在AD弧(不包括點D)上時，如圖3． 　　∵A、M、P、Q四點按順時針方向排列， 　　∴直線PQ必在直線AM的下方． 　　此時，不存在滿足題意的平行四邊形． 　　③當點M在DB弧上時，設DB弧的中點為R， 　　則OR∥BF． 　　(i)當點M在DR弧(不包括點R)上時，如圖4． 　　過點M作OR的垂線交DB弧于點O， 　　垂足為點S，可得S是MQ的中點． 　　連結AS并延長交直線BF于點P． 　　∵O為AB的中點，可證S為AP的中點． 　　∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形． 　　∴0≤x＜． 　　(ii)當點M在RB上時，如圖5． 　　直線PQ必在直線AM的下方． 　　此時，不存在滿足題意的平行四邊形． 　�、墚旤cM在射線BF(不包括點B)上時，如圖6． 　　直線PQ必在直線AM的下方． 　　此時，不存在滿足題意的平行四邊形． 　　綜上，點M的橫坐標x的取值范圍是－2＜x＜－1或0≤x＜．