Question

如圖，M是△ABC的BC邊上的一點，AM的延長線交△ABC的外接圓于D，已知：AM=9cm，BD=CD=6cm，
（1）求證：BD²=AD•DM；
（2）求AD之長．

Answer 1

（1）證明：∵BD=DC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDA=∠MDB，
∴△ABD∽△BMD，
∴
∴BD²=AD•DM．

（2）解：由（1）得6²=AD（AD-9），
AD²-9AD-36=0，
AD=12，AD=-3，（舍去）
∴AD的長是12cm．
分析：（1）將所求的乘積式化為比例式，然后證線段所在的三角形全等即可，即證△BDM∽△ADB．
（2）用AD表示出DM，然后將BD的值代入（1）題的結論中，即可求得AD的長．
點評：此題主要考查的是圓周角定理和相似三角形的性質判定和性質．