Question

已知，如圖：AB為⊙O直徑，D為弧AC中點，DE⊥AB于E，AC交OD于點F，
（1）求證：OD∥BC；  
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的長；
（3）探索DE與AC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不用證明．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)垂徑定理，由D為弧AC中點得到OD⊥AC，則∠AFO=90°，于是根據(jù)平行線的判定方法即可得到OD∥BC；
（2）先判斷OF為△ACB的中位線，則OF=

1

2

BC=3cm，然后利用DF=OD-OF求解；
（3）由OF為△ACB的中位線得到AF=CF，再證明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=

1

2

AC．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵D為弧AC中點，
∴OD⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∴OD⊥BC；
（2）解：∵OF∥BC，
而OA=OB，
∴OF為△ACB的中位線，
∴OF=

1

2

BC=3cm，
∴DF=OD-OF=5cm-3cm=2cm；
（3）解：DE=

1

2

AC．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理和三角形中位線性質(zhì)．