Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足為D．

(1)求證：AD為⊙O的切線；

(2)若AC＝2，tan∠ABD＝2，求⊙O的直徑．

Answer 1

答案：
解析：

解答：解：如圖所示，連接OA． 　　(1)∵BA平分∠CBE， 　　∴∠ABE＝∠ABO， 　　又∵∠ABO＝∠BAO， 　　∴∠BAO＝∠ABD， 　　∵AD⊥BE， 　　∴∠ADB＝90°， 　　∴∠ABD＋∠BAD＝90°， 　　∴∠BAO＋∠BAD＝90°， 　　即∠DAO＝90°， 　　∴AD是⊙O切線； 　　(2)∵BC是直徑， 　　∴∠BAC＝90°， 　　又∵∠ABD＝∠ABO，tan∠ABD＝2， 　　∴tan∠ABO＝2， 　　在Rt△ABC中，AB＝＝， 　　∴BC＝＝＝5． 　　點評：本題考查了切線的判定、勾股定理、正切．解題的關(guān)鍵是連接OA，并求出AB． 　　分析：(1)先連接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE＝∠ABO，而∠ABO＝∠BAO，易得∠BAO＝∠ABD，結(jié)合AD⊥BE，易求∠BAO＋∠BAD＝90°，即∠DAO＝90°，從而可證AD是⊙O切線； 　　(2)由于BC是直徑，那么∠BAC＝90°，而∠ABD＝∠ABO，tan∠ABD＝2，易得tan∠ABO＝2，在Rt△ABC中，易求AB，進而可求BC．