Question

10．如圖，P₁是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P₁OA₁的面積將如何變化？
（2）若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為直角三角形，其中∠P₁OA₁=P₂A₁A₂=60°，求此反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)A₂的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P₁（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，可知y隨x的增大而減小．又△P₁OA₁的面積=$\frac{1}{2}$×0A₁×b=k．故當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P₁OA₁的面積不變；
（2）因?yàn)椤鱌₁OA₁是直角三角形，所以O(shè)A₁=1，P₁A₁=$\sqrt{3}$，所以P₁（1，$\sqrt{3}$）．代入y=$\frac{k}{x}$，得k=$\sqrt{3}$，所以反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，由于△P₂A₁A₂為直角三角形，∠₂A₁A₂=60°，設(shè)A₁A₂=a，則OA₂=1+a，P₂A₂=$\sqrt{3}$a，可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）過P₁作P₁C⊥OA₁，垂足為C，
設(shè)P₁（1，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面積=$\frac{1}{2}$×0A₁×b=$\frac{1}{2}$b．
∵P₁（1，b）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限圖象上一點(diǎn)，
∴k=b，
故當(dāng)點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，則△P₁OA₁的面積不變．

（2）因?yàn)椤鱌₁OA₁是直角三角形，
所以O(shè)A₁=1，P₁A₁=$\sqrt{3}$，
所以P₁（1，$\sqrt{3}$）．
代入y=$\frac{k}{x}$，得k=$\sqrt{3}$，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$．
∵△P₂A₁A₂為直角三角形，∠P₂A₁A₂=60°，
∴P₂A₂⊥x軸，設(shè)A₁A₂=a，
則OA₂=1+a，P₂A₂=$\sqrt{3}$a，
所以P₂（1+a，$\sqrt{3}$a）．
∵P₂（1+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，得（1+a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
化簡(jiǎn)得a²+2a-1=0
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
∵a＞0，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，∴A₁A₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．