Question

已知α、β是方程x²-7x+8=0的兩個根，且α＞β，不解方程，利用根與系數(shù)的關系，求

2

α

+3β2的值．

Answer 1

分析：由題可得：α+β=7，αβ=8，則α²+β²=（α+β）²-2αβ=33，（α-β）²=（α+β）²-4αβ=17，而α＞β，則α-β=

17

，設A=

2

α

+3β²，B=

2

β

+3，求出A+B及A-B即可得出答案．

解答：解：由題可得：α+β=7，αβ=8，
則α²+β²=（α+β）²-2αβ=33，（α-β）²=（α+β）²-4αβ=17，
而α＞β，則α-β=

17

，
設A=

2

α

+3β²，B=

2

β

+3α²，
A+B=2（

1

α

+

1

β

）+3（α²+β²）=

2(α+β)

αβ

+3（α²+β²）=

2×7

8

+3×33=100

3

4

，
A-B=2（

1

α

-

1

β

）+3（β²-α²）=

2(β-α)

αβ

+3（β+α）（β-α）=

-2 17

8

+3×7×（-

17

）=-

85 17

4

，
∴A=

1

2

（100

3

4

-

85

4

17

）=

1

8

（403-85

17

），
即

2

α

+3β2=

1

8

（403-85

17

）．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．