Question

20．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA、CD的延長線相交于點E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）首選連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為R，則OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．

解答 解：（1）證明：連結(jié)DO．

∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為R，則OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠EDO=90°，
∴ED²+OD²=OE²，
∴3²+R²=（R+1）²，
解得R=4，
∴⊙O的半徑為4．

點評 本題主要考查的是切線的判斷、圓周角定理的應用，掌握切線的判定定理，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．