Question

在△ABC中，AB=AC，點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，過點P作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．
（1）若點P在BC邊上，如圖①所示，此時PD=0．線段AB、PE、PF之間的關(guān)系是

PE+PF=AB

．（直接寫出結(jié)論，不需說理）
（2）當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部時，如圖②所示，猜想AB、PE、PF、PD這四條線段之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）若點P在△ABC外部時，如圖③所示，AB、PE、PF、PD這四條線段之間又有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需說理．

Answer 1

分析：（1）由PE∥AC，PF∥AB可判斷四邊形AEPF為平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PF=AE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，則∠B=∠1，則可根據(jù)等腰三角形的判定得PE=BE，所以PE+PF=AB；
（2）作DG∥AC交AB于G，如圖②，利用平行的性質(zhì)得DG∥PE，則四邊形AEPF、PDGE都為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PF=AE，PE=DG，PD=GE，
與（1）中一樣可得GD=GB，則PE=BG，于是PE+PF+PD=AB；
（3）作PG∥BC交AB的延長線于G點，如圖③，同理可得四邊形AEPF、PDBG都為平行四邊形，則PF=AE，PD=BG，與（1）中一樣可得PE=GE，
所以PE+PF+PD=AB+2PD．

解答：解：（1）如圖①，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形AEPF為平行四邊形，∠1=∠C，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠1，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB．
故答案為PE+PF=AB；

（2）AB、PE、PF、PD這四條線段滿足PE+PF+PD=AB，理由如下：
作DG∥AC交AB于G，如圖②，
∵PE∥AC，
∴DG∥PE，
而PF∥AB，
∴四邊形AEPF、PDGE都為平行四邊形，
∴PF=AE，PE=DG，PD=GE，
與（1）中一樣可得GD=GB，
∴PE=BG，
∴PE+PF+PD=BG+AE+GE=AB；

（3）作PG∥BC交AB的延長線于G點，如圖③，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形AEPF、PDBG都為平行四邊形，
∴PF=AE，PD=BG，
與（1）中一樣可得PE=GE，
∴PE+PF+PD=GE+AE+BG=AB+2BG=AB+2PD，
即PE+PF-2PD=AB．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的兩底角相等．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．