Question

1．如圖，CE，CF分別平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D．
（1）∠ECF=90°．
（2）試說明：DE=DF．
（3）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，△CEF為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，則∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG），然后根據(jù)平角的定義即可得到∠ACE+∠ACF=90°；
（2）利用平行線及角平分線的性質(zhì)先求得CD=ED，CD=DF，然后等量代換即可證明DE=DF；
（3）在Rt△CEF中，CF=EF，求得∠FEC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BBCE=45°，求得∠ACB=2∠ECB=90°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CE、CF分別平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG），
而∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠ECF=90°；
故答案為：90°；

（2）∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF為外角∠ACG的平分線，
∴∠ACF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠GCF=∠F，∠BCE=∠CEF．
∴∠ACE=∠CEF，∠F=∠DCF．
∴CD=ED，CD=DF（等角對(duì)等邊）．
∴DE=DF

（3）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，△CEF為等腰三角形．
在Rt△CEF中，CF=EF，
∴∠FEC=45°，
∴∠BBCE=45°，
∴∠ACB=2∠ECB=90°，
即∠ACB=90°時(shí)，△CEF為等腰三角形．
故答案為：90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定及角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)；進(jìn)行等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．