Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為（12，0）、（12，6），直線y=-

3

2

x+b與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．
（Ⅰ）若直線y=-

3

2

x+b過矩形OABC對角線交點，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)直線y=-

3

2

x+b繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，與直線BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）當(dāng)直線y=-

3

2

x+b沿y軸向

 

平移

 

個單位長度時，將矩形OABC沿平移后的直線折疊，帶你O恰好落在邊BC上．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線y=-

3

2

x+b必過矩形的中心，然后求得矩形的中心坐標(biāo)為（6，3），代入解析式即可求得b值；
（Ⅱ）假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況，過O作OH⊥PM于H，解得OH=OC=6在直角三角形OPM中OP=12，從而求得∠OPM=30°，利用三角函數(shù)求得OM的長，從而求得DM的長；
（Ⅲ）假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處，連接PO′、OO′，得到△OPO′為等邊三角形，從而得到∠OPD=30°，若設(shè)沿直線y=-

3

2

x+a將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處，連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OCO′中，利用正切的定義求得a值即可得到將矩形OABC沿直線折疊，點O恰好落在邊BC上．

解答：解：（Ⅰ）∵直線y=

3

2

x+b必過矩形的中心，
由題意得矩形的中心坐標(biāo)為（6，3），
∴3=

3

2

×6+b
解得b=12．
（Ⅱ）假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況，
過O作OH⊥PM于H，
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（Ⅰ）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4

3

當(dāng)y=0時，由

3

2

x+12=0解得x=8，
∴OD=8
∴DM=8-4

3

．
（Ⅲ） 設(shè)沿直線y=

3

2

x+a將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處
連結(jié)PO′、OO′，則有P′O′=OP′=a
由題意得：CP′=a-6，∠OPD=∠CO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=

OD

OP

在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=

OC

O′C

，
∴

OD

OP

=

OC

O′C

，

8

12

=

6

O′C

，
解得O′C=9
在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得a=

39

4

，12-

39

4

=

9

4

，
所以將直線y=-

3

2

x+12沿y軸向下平移

9

4

個單位得直線y=-

3

2

x+

39

4

，將矩形OABC沿直線y=-

3

2

x+

39

4

折疊，點O恰好落在邊BC上．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，注意分類討論思想的滲透，題目綜合性強(qiáng)，難度較大．