Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接DM交AC于點(diǎn)N。

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時，連接BN。
①求證：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x（6≤x≤12），試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形。

Answer 1

解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠1=∠2 又∵AN=AN ∴△ABN≌△ADN ②作MH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H，由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°， 在Rt△AMH中，MH=AM·sin60°=4×sin60°=2， ∴點(diǎn)M到AD的距離為2， 易求AH=2，則DH=6+2=8 在Rt△DMH中，tan∠MDH=， 由①知，∠MDH=∠ABN=α，故tanα=；
（2）∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形，此時，∠CAD=45°， 下面分三種情形： Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45° 此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6； Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45° 此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12； Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2， 由AD∥BC，得∠1=∠4， 又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，從而CM=CN， 易求AC=6， ∴CM=CN=AC-AN=6-6， 故x=12-CM=12-（6-6）=18-6， 綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6時，△ADN是等腰三角形。