Question

14．以線段AC為對角線的四邊形ABCD（它的四個頂點A、B、C、D按順時針方向排列），已知AB=BC=CD，∠ABC=100°，∠CAD=40°；則∠BCD的大小為80°或100°．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質和平行線的判定可得AD∥BC，再分2種情況：（1）如圖1，過點C分別作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，通過證明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，由全等三角形的性質得到∠2=∠ACD=40°，可得∠BCD=80°；（2）如圖2，根據(jù)等腰梯形的判定可得四邊形ABCD′是等腰梯形，再根據(jù)等腰梯形的性質得到∠BCD′=∠ABC=100°，從而求解．

解答 解：∵AB=BC，∠ABC=100°，
∴∠1=∠2=∠CAD=40°，
∴AD∥BC，
（1）如圖1，過點C分別作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1=∠CAD，
∴CE=CF，
在Rt△ACE與Rt△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
在Rt△BCE與Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠ACE=∠ACF，∠BCE=∠△DCF，
∴∠2=∠ACD=40°，
∴∠BCD=80°；
（2）如圖2，∵AD∥BC，AB=CD′，
∴四邊形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′=∠ABC=100°．
綜上所述，∠BCD=80°或100°．

點評 考查了全等三角形的判定與性質，等腰梯形的判定與性質，本題關鍵是證明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同時注意分類思想的應用．